เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนชัดเจนว่าจำนวนจริงก่อตัวเป็นอนันต์มากกว่าจำนวนนับ

ท้ายที่สุดแล้ว เส้นจำนวนจริงนั้นยาวไม่มีที่สิ้นสุดและขยายต่อเนื่อง ขณะที่จำนวนนับเป็นเพียงเหตุการณ์สำคัญที่แยกออกมาตามเส้นนี้อย่างไรก็ตาม มีเพียงเล็กน้อยที่ชัดเจนเมื่อพูดถึงเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด ประการหนึ่ง ไม่มีทางที่จะนับองค์ประกอบของเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดสองเซตแล้วตัดสินว่าเซตใดมีมากกว่า นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าเซตอนันต์สองเซตมีขนาดเท่ากัน ถ้ามีวิธีจับคู่องค์ประกอบแบบหนึ่งต่อหนึ่ง โดยไม่มีองค์ประกอบของเซตใดเหลืออยู่

โดยมาตรการนี้ชุดจำนวนนับไม่สิ้นสุด {1, 2, 3, . . . } 

มีขนาดเท่ากับเซตอนันต์ของเลขคู่ {2, 4, 6, . . . } แม้ว่าเลขคู่จะประกอบกันเป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนนับก็ตาม ขั้นตอนการจับคู่ทำงานโดยเชื่อมต่อ 1 กับ 2, 2 กับ 4, 3 กับ 6, 4 กับ 8 และอื่น ๆ เพื่อสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่สมบูรณ์แบบระหว่างสองชุด

ในตอนแรก นักคณิตศาสตร์คิดว่าเซตอนันต์ทั้งหมดสามารถจับคู่กับตัวเลขนับได้ด้วยวิธีนี้ อย่างไรก็ตาม คันทอร์ได้เสนอข้อโต้แย้งที่แยบยลเพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่มีทางที่จะจับคู่จำนวนจริงกับจำนวนนับได้โดยไม่มีจำนวนจริงเหลืออยู่ ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์จึงเรียกเซตของจำนวนจริงที่นับไม่ถ้วนว่านับไม่ได้

เมื่อคันทอร์ได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนจริงประกอบกันเป็นอนันต์มากกว่าจำนวนนับ เขาไม่เห็นเหตุผลที่จะหยุดอยู่แค่นั้น เขาตระหนักว่ามีลำดับชั้นของอนันต์ทั้งหมด—เป็น “สวรรค์ของอนันต์” ตามคำพูดของ David Hilbert นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ชาวเยอรมัน หนึ่งในผู้ร่วมสมัยของ Cantor

คันทอร์ศึกษาชุดของจำนวนนับไม่ถ้วนหลายชุด แต่เขาไม่เคยพบชุดใดที่มีขนาดอยู่ระหว่างจำนวนนับกับจำนวนจริงเลย ดังนั้นในปี พ.ศ. 2420 เขาจึงสันนิษฐานว่าจำนวนจริงซึ่งมักเรียกว่าคอนตินิวอัม ก่อตัวเป็นเซตอนันต์ที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งใหญ่กว่าจำนวนนับ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ควรมีชุดของตัวเลขที่ใหญ่กว่าชุดของจำนวนนับ แต่น้อยกว่าชุดของจำนวนจริง ในการบรรยายที่มีชื่อเสียงซึ่งนำเสนอในปี 1900 ที่ International Congress of Mathematicians ในปารีส 

ฮิลแบร์ตได้วางการยืนยันนี้ที่เรียกว่าสมมติฐานต่อเนื่องไว้ที่ด้านบนสุดของรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด 23 ข้อ

ของศตวรรษใหม่

การพิสูจน์ความจริงหรือความเท็จของสมมติฐานต่อเนื่องของคันทอร์ทำให้ต้องตอบคำถามนี้: เซตของจำนวนจริงอยู่ที่ไหนในลำดับชั้นของเซตอนันต์? นี่เป็นชุดแรกที่นับไม่ได้จริง ๆ เหรอ? คันทอร์ คนหนึ่งสงสัยว่าคำตอบคือไม่ แต่เขาไม่สามารถพิสูจน์ได้

ลำดับชั้นของอนันต์ของคันทอร์เป็นแนวคิดที่ปฏิวัติวงการซึ่งคนรุ่นราวคราวเดียวกับเขาหลายคนปฏิเสธมันอย่างไม่ใยดี การเย้ยหยันของพวกเขา ประกอบกับการที่คันทอร์ไม่สามารถพิสูจน์สมมติฐานต่อเนื่องได้ ทำให้เขามีอาการทางประสาทหลายอย่าง ในบางครั้ง เขาเลิกใช้คณิตศาสตร์ชั่วคราว โดยเลือกที่จะไล่ตามความหลงใหลอย่างอื่นแทน: พยายามพิสูจน์ว่านักปรัชญาชาวอังกฤษ ฟรานซิส เบคอน เป็นผู้ประพันธ์บทละครของวิลเลียม เชกสเปียร์ตัวจริง ในปี พ.ศ. 2460 คันทอร์เสียชีวิตโดยไม่มีความสุขและหดหู่ใจในโรงพยาบาล

ความสง่างามที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในทศวรรษต่อจากผลลัพธ์ของโคเฮนในปี 1963 นักคณิตศาสตร์ที่พยายามตั้งสมมติฐานความต่อเนื่องพบอุปสรรค: ในขณะที่บางคนเสนอสัจพจน์ใหม่ที่บ่งชี้ว่าสมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริง คนอื่น ๆ เสนอสิ่งที่ดูเหมือนเป็นสัจพจน์ที่ดีพอ ๆ กันเพื่อบ่งชี้ว่ามันเป็นเท็จ Woodin กล่าว

Woodin ตัดสินใจลองใช้แนวทางอื่น แทนที่จะมองหาสัจพจน์ที่ขาดหายไป เขารวบรวมหลักฐานแวดล้อมเกี่ยวกับความหมายของสัจพจน์นั้น ในการทำเช่นนี้โดยไม่รู้ว่าสัจพจน์คืออะไร Woodin พยายามคิดว่าสัจพจน์บางข้อดีกว่าข้ออื่นหรือไม่ เขารู้สึกว่าสัจพจน์ที่ดีควรช่วยให้นักคณิตศาสตร์ตั้งหลักได้ ไม่เพียงแต่สมมติฐานความต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังรวมถึงคำถามอื่นๆ อีกมากมายเกี่ยวกับลำดับชั้นของเซตอนันต์ของคันทอร์

นักคณิตศาสตร์รู้มานานแล้วว่าไม่มีสัจพจน์ใดที่ทรงพลังที่สามารถตอบทุกคำถามเกี่ยวกับลำดับชั้นของคันทอร์ได้ อย่างไรก็ตาม Woodin สงสัยว่าการประนีประนอมเป็นไปได้: อาจมีสัจพจน์ที่ตอบคำถามทั้งหมดจนถึงระดับของลำดับชั้นที่สมมติฐานต่อเนื่องเกี่ยวข้อง – ขอบเขตของเซตอนันต์ที่เล็กที่สุดนับไม่ถ้วน Woodin เรียกสัจพจน์ดังกล่าวว่า “สง่างาม”

ในการโต้เถียงทางคณิตศาสตร์ที่มีความยาวเป็นเล่มซึ่งกระจายไปทั่วชุมชนทฤษฎีเซตในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา Woodin ได้พิสูจน์แล้วว่านอกเหนือจากส่วนที่ขาดหายไปซึ่งยังคงต้องเติมเต็ม นั่นคือสัจพจน์ที่สวยหรูนั้นมีอยู่จริง และที่สำคัญก็คือสัจพจน์ที่สง่างามทุกข้อ สัจพจน์จะทำให้สมมติฐานต่อเนื่องเป็นเท็จ

“หากมีวิธีง่ายๆ สำหรับสมมติฐานความต่อเนื่อง จะต้องเป็นเท็จ” Woodin กล่าว และถ้ามันเป็นเท็จ แสดงว่ามีเซตอนันต์ที่ใหญ่กว่าจำนวนนับและน้อยกว่าจำนวนจริง

Joel Hamkins จาก City University of New York และ Georgia State University ในแอตแลนตากล่าวว่าแนวทางใหม่ของ Woodin ในการหลีกเลี่ยงการค้นหาสัจพจน์ที่ถูกต้องนั้นไม่สอดคล้องกับวิธีที่นักคณิตศาสตร์คิดว่าสมมติฐานต่อเนื่องจะถูกตัดสิน

นักคณิตศาสตร์ยังไม่ซึมซับการแตกแขนงของงานของ Woodin อย่างเต็มที่พอที่จะตัดสินใจว่ามันตกลงกับสมมติฐานต่อเนื่องหรือไม่ Akihiro Kanamori จาก Boston University (Mass.) กล่าว “[มัน] ถือเป็นความสำเร็จที่น่าประทับใจมาก แต่มีเพียงไม่กี่คนที่เข้าใจขอบเขตที่สูงขึ้น [ของกรอบของ Woodin]” เขากล่าว

เกมส์ออนไลน์แนะนำ >>> สล็อตเว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ 777 ufabet666win