กำลังสำรวจนัยของการมองเห็นเซตที่กว้างไกลอย่างมากของคันทอร์ Bertrand Russell นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้แสดงให้เห็นว่าหากนักคณิตศาสตร์ไม่ใส่ใจเกี่ยวกับวิธีการนิยามเซตต่างๆ ก็จะส่งผลให้เกิดความขัดแย้งที่ขัดแย้งกันตัวเลขที่กะพริบ เพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้ Georg Cantor ได้คิดค้นการโต้แย้งในแนวทแยงของเขา เขาเริ่มต้นด้วยอาร์เรย์ของตัวเลขสี่เหลี่ยมที่แต่ละแถวมีความแตกต่างกัน จากนั้นจึงเปลี่ยนตัวเลขแต่ละตัวที่อยู่ในแนวทแยง การอ่านเส้นทแยงมุมเป็นแถวใหม่จะได้จำนวนที่ไม่ได้อยู่ในอาร์เรย์เดิม ดังนั้นหากมีแถวไม่สิ้นสุด ก็จะยังคงมีแถวที่เป็นไปได้เพิ่มเติม
ศิลปินและนักคณิตศาสตร์ Helaman Ferguson
ได้สร้างจินตภาพของข้อโต้แย้งนั้นในภาพคู่สามมิตินี้ พิกเซลอาร์เรย์สี่เหลี่ยมสองแถวเหมือนกัน ยกเว้นเส้นทแยงมุม (เรียงจากบนซ้ายไปขวาล่าง) โดยที่พิกเซลสีดำในอันหนึ่งเป็นพิกเซลสีขาวในอีกอันหนึ่ง เมื่อดูภาพสามมิติ ภาพจะรวมกัน และเส้นทแยงมุมจะโดดเด่นจากอาร์เรย์พื้นหลัง ดูเหมือนจะกะพริบ
เอช. เฟอร์กูสัน
องค์ประกอบของเซตอาจเป็นตัวเลข ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่เซตเองก็ได้ รัสเซลล์สังเกตว่าชุดหนึ่งๆ อาจประกอบด้วยตัวมันเองด้วยซ้ำ เช่น รูปภาพที่มีรูปของตัวเอง ซึ่งมีรูปของตัวเอง และอื่นๆ รัสเซลล์ขอให้นักคณิตศาสตร์พิจารณาเซตหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า S ซึ่งมีเซตทั้งหมดที่ไม่มีตัวมันเอง จากนั้นเขาก็ถามว่า S มีตัวเองหรือไม่? ไล่ตามวงจรของความหมายไปรอบๆ แล้วคุณจะพบว่าคำตอบที่ใช่หรือไม่ใช่นำไปสู่ความขัดแย้งเชิงตรรกะ
เพื่อจัดการกับปัญหานี้ นักคณิตศาสตร์ในไตรมาสแรกของศตวรรษที่ 20 ได้พัฒนาหลักการพื้นฐานหรือสัจพจน์ โดยสะกดว่าเซตมีพฤติกรรมอย่างไร และแยกแยะเซตที่ขัดแย้งกัน เช่น เซต S ของรัสเซลล์ สัจพจน์เหล่านี้เป็นธรรมชาติและใช้งานง่ายจนนักคณิตศาสตร์เต็มใจ ที่จะยอมรับพวกเขาโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ข้อหนึ่ง เช่น ระบุว่าเมื่อกำหนดให้มี 2 ชุด
องค์ประกอบของชุดเหล่านี้สามารถรวบรวมเข้าด้วยกันเพื่อสร้างชุดใหม่ได้ อีกรัฐหนึ่งที่มีชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด
แม้จะเรียบง่าย แต่สัจพจน์เหล่านี้—เรียกว่าสัจพจน์มาตรฐานของทฤษฎีเซต—ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถกำหนดกรอบการทำงานที่เข้มงวดสำหรับการพิสูจน์ผลลัพธ์ในสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมด ตั้งแต่แฟร็กทัลไปจนถึงสมการเชิงอนุพันธ์
อย่างไรก็ตาม สมมติฐานที่ต่อเนื่องได้เผยให้เห็นความไม่สมบูรณ์ที่ชัดเจนในสัจพจน์เหล่านี้ ในปี พ.ศ. 2481 เคิร์ต โกเดล นักตรรกวิทยาได้พิสูจน์ว่าสมมติฐานต่อเนื่องสอดคล้องกับสัจพจน์มาตรฐานของทฤษฎีเซต จากนั้นในปี 1963 พอล โคเฮน ซึ่งปัจจุบันอยู่ที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่าตรงกันข้ามกับสมมติฐานต่อเนื่อง นั่นคือการยืนยันว่ามีเซตอนันต์ที่ใหญ่กว่าเซตของจำนวนนับแต่เล็กกว่าเซตของจำนวนจริง สอดคล้องกับสัจพจน์
เมื่อนำมารวมกัน ผลลัพธ์ทั้งสองบ่งชี้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานต่อเนื่องโดยใช้สัจพจน์มาตรฐาน สิ่งนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์หลายคนลงความเห็นว่าอาจไม่มีทางเป็นไปได้เลยที่จะพัฒนาความรู้สึกที่น่าพอใจว่าสมมติฐานนั้นเป็นจริงหรือเท็จ
การสาธิตของโคเฮนที่ว่าสมมติฐานต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ “ทำให้เกิดวิกฤตการณ์พื้นฐาน” วูดินกล่าว “ที่นี่ เรามีคำถามที่ควรได้รับคำตอบ แต่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีทางตอบได้” สิ่งนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์มีคำถามพื้นฐาน: มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะบอกว่าสมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริงหรือเท็จ?
เมื่อพูดถึงประเด็นทางปรัชญาเกี่ยวกับธรรมชาติของความจริง นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ตกอยู่ในหนึ่งในสองค่ายที่เรียกว่า ลัทธิฟอร์มัลลิสม์ และ ลัทธิเพลโตนิสต์ นักปฏิบัตินิยมถือว่าข้อความทางคณิตศาสตร์ไม่มีความจริงแท้หรือความเท็จ—สิ่งเดียวที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับข้อความนั้นก็คือว่าสามารถพิสูจน์ได้ในระบบสัจพจน์ที่กำหนดหรือไม่
มันไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึงว่าสมมติฐานต่อเนื่องเป็นจริงหรือเท็จ พวกเขาเชื่อว่า ถ้าสมมติฐานต่อเนื่องไม่สามารถแก้ไขได้ภายในกรอบมาตรฐานของคณิตศาสตร์ สมมติฐานนั้นจะต้องคลุมเครือโดยเนื้อแท้ “บางคนคิดว่ามันยากพอๆ กับการถามว่ามีทูตสวรรค์กี่องค์ที่สามารถร่ายรำบนหัวพินได้ หรือจำนวนปี่มีสีอะไร” วูดดินกล่าว
สำหรับ Platonists วัตถุทางคณิตศาสตร์เช่นชุดมีอยู่ในโลกทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติ และระบบเชิงสัจพจน์เป็นเพียงเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการส่องสว่างว่าข้อความใดเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้นเป็นจริงในโลกนั้น สำหรับ Platonists สมมติฐานต่อเนื่องรู้สึกเหมือนข้อความคอนกรีตที่ควรเป็นจริงหรือเท็จ สำหรับพวกเขา หากสัจพจน์มาตรฐานไม่สามารถกำหนดสมมติฐานต่อเนื่องได้ ก็ไม่ใช่ว่าสมมติฐานนั้นเป็นคำถามที่ไม่มีความหมาย แต่เป็นสัจพจน์ที่ไม่เพียงพอ
จากมุมมองนี้ ผลลัพธ์ของโคเฮนบ่งชี้ว่านักคณิตศาสตร์จำเป็นต้องเพิ่มสัจพจน์เกี่ยวกับเซตอนันต์ลงในรายชื่อของพวกเขา อย่างไรก็ตามมีปัญหา สัจพจน์ควรชัดเจนโดยสังหรณ์ใจว่าทุกคนเห็นด้วยทันทีว่าเป็นความจริง สัญชาตญาณจะหายไปอย่างรวดเร็วเมื่อเผชิญกับคำถามเกี่ยวกับอนันต์
เกมส์ออนไลน์แนะนำ >>> เซ็กซี่บาคาร่า ไฮโลออนไลน์
